折纸不仅是一项有趣的活动,也是一项益智的数学活动.今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸.

【实践操作】
操作$1$:将矩形纸片$ABCD$对折,使$AD$与$BC$重合,得到折痕$EF$,把纸片展平；
操作$2$:在$AD$上选一点$P$,沿$BP$折叠矩形,使点$A$正好落在折痕$EF$上的$M$处.
$(1)$根据以上操作,写出图$1$中一个$30^{\circ}$的角:______(不添加辅助线与新字母）；
【迁移探究】
如图$2$,将矩形纸片$ABCD$沿对角线$AC$折叠,使点$D$落在矩形$ABCD$所在平面内,边$BC$和$AQ$相交于点$E$.
$(2)$连接$BQ$,判断$BQ$和$AC$的位置,并说明理由；
【拓展应用】
$(3)$如图$3$,在矩形纸片中,点$E$在$AB$上,将矩形$ABCD$沿着$CE$折叠,使得点$B$的对应点落在$AD$边上的点$F$处,连接$CF$,$G$为$CD$的中点,连接$BG$交$CE$、$CF$于点$M$、$N$两点.当$BM=BE$时请求出$\angle AFE$的正弦值.