如图,已知$A$、$B$是数轴上的两个点,点$A$表示的数为$13$,点$B$表示的数为$-5$,动点$P$从点$B$出发,以每秒$4$个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,设运动时间为$t\left(t \gt 0\right)$秒.
$(1)$点$P$表示的数为______(用含$t$的代数式表示）；
$(2)$点$P$运动多少秒时,$PB=2PA$?
$(3)$若$M$为$BP$的中点,$N$为$PA$的中点,点$P$在运动的过程中,线段$MN$的长度是否发生变化?若变化,请说明理由；若不变,请直接写出线段$MN$的长.