如图$1$,已知点$A\left(a,0\right)$,$B\left(b,0\right)$,满足$\left(3a+4b\right)^{2}+|a-8|=0$,且$OB=OC$,$AC=10$.
$(1)$求点的$C$坐标；
$(2)$如图$2$,若三角形$AOC$以每秒$1$个单位长度的速度沿$x$轴向右运动（点$A$、$O$、$C$对应点分别为点$D$、$E$、$F)$,同时点$M$从点$B$出发以每秒$3$个单位长度的速度沿$x$轴向右运动,连接$MF$,设点$M$运动时间为$t$秒,三角形$MFE$的面积为$S$,请用含$t$的式子表示$S($写出相应$t$的取值范围）；
$(3)$如图$3$,在（2）的条件下,$DF$的延长线交$y$轴于点$N$,当$N$点坐标为$\left(0,8\right)$时,三角形$DEF$和点$M$均停止运动,同时点$P$从点$E$出发以每秒$0.5$个单位长度的速度沿$EF$、$FD$向终点$D$运动（当点$P$运动至点$D$时停止运动）,连接$BP$、$DP$,求点$P$运动多少秒,此时的三角形$MFE$与三角形$BPD$的面积相等.