$2000$多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现．下面给出几种探究方法$($由若干个全等的直角三角形拼成如图图形$)$，试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边$a$、$b$、$c$之间的数量关系.
$(1)$三边$a$、$b$、$c$之间的数量关系为 ______ ；
$(2)$理由： ______ .