勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：
两个全等的直角三角板$ABC$和直角三角板$DEF$，顶点$F$在$BC$边上，顶点$C$、$D$重合，连接$AE$、$EB.$设$AB$、$DE$交于点$G.∠ACB=∠DFE=90°$，$BC=EF=a$，$AC=DF=b(a>b)$，$AB=DE=c.$请你回答以下问题：
$(1)$填空：$∠AGE=$______$°$，$S_{四边形ADBE}=$______$c^{2}.$
$(2)$请用两种方法计算四边形$ACBE$的面积，并以此为基础证明勾股定理．