如图,抛物线$y=-x^{2}+bx+c$与直线$AB$交于$A\left(-4,-4\right)$,$B\left(0,4\right)$两点,直线$AC:y=-\frac{1}{2}x-6$交$y$轴于点$C$,点$E$是直线$AB$上的动点,过点作$EF$∥$y$轴交$AC$于点$F$,交抛物线于点$G$.

$(1)$求抛物线的解析式为______；
$(2)$在$y$轴上存在一点$H$,连接$EH$,$HF$,当点$E$运动到什么位置时,以$A$,$E$,$F$,$H$为顶点的四边形是矩形?求出此时点$E$,$H$的坐标；
$(3)$在（2）的前提下,以点$E$为圆心,$EH$长为半径作圆,点$M$为圆$E$上一动点,求$\frac{1}{2}AM+CM$的最小值.