二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a$,$b$,$c$是常数,$ab\neq 0)$,当$x=-\frac{b}{2a}$时,函数$y$有最小值$-1$.
$(1)$若该函数图象的对称轴为直线$x=1$,并且经过$\left(0,0\right)$点,求该函数的表达式；
$(2)$若一次函数$y=ax+c$的图象经过二次函数$y=ax^{2}+bx+c$图象的顶点；
①求该二次函数图象的顶点坐标；
②若$A(m-3$,$y_{1})$、$B(m$,$y_{2})$是该二次函数图象上的两点,若$y_{1} \gt y_{2}$,求$m$的取值范围.