如图,抛物线$y=ax^{2}+bx+c$与$x$轴交于点$A\left(-2,0\right)$和点$B\left(4,0\right)$,与$y$轴交于点$C\left(0,4\right)$,作直线$BC$.
$(1)$求该抛物线的解析式；
$(2)$如图$1$,已知直线$BC$上方抛物线上有一点$P$,过点$P$作$PE$∥$y$轴与$BC$交于点$E$,过点$P$作$PF$∥$x$轴与$y$轴交于点$F$,求$PE+PF$的最大值和此时点$P$的坐标；
$(3)$如图$2$,将原抛物线向下平移$1$个单位长度得到新抛物线,新抛物线与$y$轴交于点$D$,已知点$M$为新抛物线上的一点,且$\angle ODB+2\angle MDB=90^{\circ}$,请直接写出所有符合条件的点$M$的横坐标.