如图$1$,抛物线${C}_{1}:y=-{x}^{2}+bx+c$与$x$轴交于$A\left(-3,0\right)$,$B\left(1,0\right)$两点,交$y$轴于点$C$,连接$AC$,点$D$为$AC$上方抛物线上的一个动点,连接$AD$,$DC$.
$(1)$求抛物线$C_{1}$的解析式；
$(2)$求$\triangle ADC$面积的最大值；
$(3)$如图$2$,将抛物线$C_{1}$沿$y$轴翻折得到抛物线$C_{2}$,抛物线$C_{2}$的顶点为$F$,对称轴与$x$轴交于点$G$,过点$H\left(1,2\right)$的直线与抛物线交于$J$,$I$两点,直线$FJ$,$FI$分别交$x$轴于点$M$,$N$.试探究$GM\cdot GN$是否为定值?若是,求出该定值；若不是,说明理由.