根据三角形全等知识易证:$\triangle ABC$中,①若$AB=AC$,则$\angle B=\angle C$；②若$\angle B=\angle C$,则$AB=AC$,有时恰当使用上述结论,可使解题过程更简化.
数学实验课上,小颖、小亮、小慧三位同学每人拿的一张画有"形状、大小完全相同的$\triangle ABC$"的纸张,$AD$是$\triangle ABC$的中线,他们进行如下操作:

$(1)$如图$1$,小颖测量发现$AD\bot BC$,那么边$AB$、$AC$有何数量关系?并证明你的结论；
$(2)$如图$2$,小亮在$AD$上取一点$E$,将$\triangle ABE$沿$BE$翻折后发现,点$A$的对应点$F$恰好在线段$CE$上,且$BF$平分$\angle ABC$,则$\angle BAC=$______；
$(3)$如图$3$,小慧在$DA$的延长线上取一点$E$,连接$BE$交$AC$延长线于点$F$,延长$BE$到$G$,连接$CG$交$BA$延长于点$H$,测量发现$\angle G=80^{\circ}$,探究线段$BF$与$CH$的数量关系.