【基础巩固】
$(1)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$D$为$BC$上一点,连结$AD$,$E$为$AD$上一点,连结$CE$,若$\angle BAD=\angle ACE$,$CD=CE$,求证:$CE\cdot BD=AD\cdot AE$.
【尝试应用】
$(2)$如图$2$,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC$、$BD$交于点$O$,$E$为$OC$上一点,连结$BE$,$\angle CBE=\angle DCO$,$BE=DO$,若$BD=24$,$OE=7$,求$AC$的长.
【拓展提升】
$(3)$如图$3$,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$、$BD$交于点$O$,$E$为$BC$中点,$F$为$DC$上一点,连结$OE$、$AF$,$\angle AEO=\angle CAF$,若$\frac{CF}{CD}=\frac{1}{3}$,$AC=6$,求$\frac{OC}{OD}=\_\_\_\_\_\_.$