在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C=90^{\circ}$,分别取$BC$、$AC$的中点并且同时将这两个中点绕点$C$按顺时针方向旋转依次得到点$D$、$E$,记旋转角为$a\left(0^{\circ} \lt a \lt 90^{\circ}\right)$,连接$AE$、$CD$、$BD$,如图所示.
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$(1)$当$BC=AC$时,求证:$\angle DBC=\angle EAC$；
$(2)$若$BC=AC=4$,当$B$,$D$,$E$三点共线时,求线段$BE$的长；
$(3)$当$\angle ABC=30^{\circ}$时,延长$BD$交$AE$于点$H$,连接$CH$,探究线段$BH$,$AH$,$CH$之间的数量关系并说明理由.