如图,等边$\triangle ABC$中,$BM$是$\angle ABC$内部的一条射线,且$\angle ABM \lt 30^{\circ}$,点$A$关于$BM$的对称点为$D$,连接$AD$,$BD$,$CD$,其中$AD$、$CD$的延长线分别交射线$BM$于点$E$,$P$.
$(1)$依题意补全图形；
$(2)$请猜想此时$\angle ABM$与$\angle BDC$的数量关系,并进行证明；
$(3)$用等式表示线段$PB$,$PC$与$PE$之间的数量关系,并证明.