$(1)$如图$\left(1\right)$,在平面直角坐标系中,将直角三角形的直角顶点放在点$P\left(6,6\right)$处,两直角边与坐标轴交于点$A$和点$B$.求$OA+OB$的值；
$(2)$将直角三角形绕点$P$逆时针旋转,如图（2）两直角边与坐标轴交于点$A$和点$B$,求$OA-OB$的值；
$(3)$在图（2）的基础上,由点$P$引一条射线$PG$,如图（3）,过点$A$作$AM\bot PG$,过点$B$作$BN\bot PG$,垂足分别为$M$,$N$,猜想$AM$,$BN$,$MN$之间的数量关系,并说明理由.