定义:如果两个一元一次方程的解之和为$1$,我们就称这两个方程为"和谐方程".例如:方程$4x=8$和$x+1=0$为"和谐方程".
$(1)$若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$是"和谐方程",则$m=$______；
$(2)$若两个"和谐方程"的解相差$2$,其中较小的一个解为$n$,则$n=\_\_\_\_\_\_.$
$(3)$若关于$x$的两个方程$\frac{x}{3}+m=0$与$\frac{3x-2}{5}=\frac{x+m}{2}$是"和谐方程",求$m$的值.