问题情境:苏科版八年级下册数学教材第$94$页第$19$题第（1）题是这样一个问题:
如图$1$,在正方形$ABCD$中,点$E$、$F$分别在边$BC$、$CD$上,且$AE\bot BF$,垂足为$M$.那么$AE$与$BF$相等吗?
$(1)$直接判断:$AE \_\_\_\_\_\_BF($填"$=$"或"$\neq$"）；
在"问题情境"的基础上,继续探索:
问题探究:
$(2)$如图$2$,在正方形$ABCD$中,点$E$、$F$、$G$分别在边$BC$、$CD$和$DA$上,且$GE\bot BF$,垂足为$M$.那么$GE$与$BF$相等吗?证明你的结论；
问题拓展:
$(3)$如图$3$,点$E$在边$CD$上,且$MN\bot AE$,垂足为$H$,当$H$在正方形$ABCD$的对角线$BD$上时,连接$AN$,将$\triangle AHN$沿着$AN$翻折,点$H$落在点${H\’}$处.
①四边形$AHNH\’$是正方形吗?请说明理由；
②若$AB=6$,点$P$在$BD$上,$BD=3BP$,直接写出$PH\’+\frac{\sqrt{2}}{2}AN$的最小值为______.