【问题提出】如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,直线$l$经过点$A$,分别从点$B$,$C$向直线$l$作垂线,垂足分别为$D$,$E$.求证:$\triangle ABD$≌$\triangle CAE$；
【变式探究】如图$2$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,直线$1$经过点$A$,点$D$,$E$分别在直线$l$上,如果$\angle CEA=\angle ADB=\angle BAC$,猜想$DE$,$BD$,$CE$有何数量关系,并给予证明；
【拓展应用】小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案,大致图形如图$3$所示,以$\triangle ABC$的边$AB$,$AC$为一边向外作$\triangle BAD$和$\triangle CAE$,其中$\angle BAD=\angle CAE=90^{\circ}$,$AB=AD$,$AC=AE$,$AG$是边$BC$上的高.延长$GA$交$DE$于点$H$.
$(1)$求证:点$D$,$E$到直线$HG$的距离相等；
$(2)$经测量,$DE=50cm$,求$HE$的长.