在平面直角坐标系中,直线$y=\frac{1}{2}x+b$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,点$P$坐标为$\left(3,0\right)$,过点$P$作$PC\bot x$轴,且$\triangle ABC$为等腰直角三角形.
$(1)$如图,当$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$时,求证:$\triangle ABO$≌$\triangle CAP$；
$(2)$当$AB$为直角边时,请给出相应图形分别求出所有可能的$b$值,并直接写出点$C$的坐标.