若一个函数的解析式等于另两个函数解析式的和,则这个函数称为另两个函数的"生成函数".现有关于$x$的两个二次函数$y_{1}$,$y_{2}$,且${y}_{1}=a{(x-h)}^{2}+3(h＞0)$,$y_{1}$,$y_{2}$的"生成函数"为$y=x^{2}+3x-3$.
$(1)$当$x=h$时,$y_{2}=4$,求$h$的值；
$(2)$在（1）的条件下,若二次函数$y_{2}$的图象经过点$\left(-1,1\right)$；求二次函数$y_{1}$,$y_{2}$的解析式.