如图,在平面直角坐标系中,过点$C\left(0,6\right)$的直线$AC$与直线$OA$相交于点$A\left(4,2\right)$.
$(1)$求直线$AC$的表达式；
$(2)$求$\triangle OAC$的面积；
$(3)$动点$M$在线段$OA$和射线$AC$上运动,是否存在点$M$,使$\triangle OMC$的面积是$\triangle OAC$的面积的$\frac{1}{2}$?若存在,求出此时点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.