如图，在$\triangle ABC$中，$AD$为$BC$边上的高，$BC=8$，$AD=4$，点$P$为边$BC$上一动点，连接$AP$，随着$BP$长度的变化，$\triangle ACP$的面积也在变化．
$(1)$在这个变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？
$(2)$若设$BP=x$，$\triangle ACP$的面积为$y$，请写出$y$与$x$的关系式；
$(3)$当$BP=\dfrac{1}{2}AD$时，求$\triangle ACP$的面积．