如图,在平面直角坐标系中,$A\left(-1,0\right)$,$C$为$y$轴正半轴上的一点,且$C(0,\sqrt{3})$,$B(\sqrt{3},0)$.
$(1)$求$AC$和$BC$的长；
$(2)$点$D$是第一象限内的点、且点$D$的坐标为$\left(d,2d\right)$；
①若点$D$是$AB$垂直平分线上的一点、求$OD$的长；
②是否存在$d$的值、使得$BD=CD$?若存在,求出$d$的值；若不存在,请说明理由.