在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AB=AC$,点$D$是平面内一点（不与点$A$,$B$,$C$重合),连接$BD$,$CD$,$\angle BDC=90^{\circ}$,连接$AD$.将$\triangle ADC$沿直线$AD$翻折,得到$\triangle ADG$,连接$CG$.
$(1)$如图$1$,点$D$在$\angle ABC$内部,$BD$交$AC$于点$E$,点$F$是$BD$上一点,且$BF=CD$,连接$AF$.
①求证:$\triangle ABF$≌$\triangle ADG$；
②若$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$CD=1$,求点$G$到直线$BC$的距离.
$(2)$如图$2$,点$D$在$\angle BAC$的内部,试探究$BD$,$AD$,$CG$之间的数量关系并说明理由.
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