$(1)$如图$1$是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
$(2)$伽菲尔德$(1881$年任美国第$20$届总统$)$利用$(1)$中的公式和图$2$证明了勾股定理$(1876$年$4$月$1$日发表在《新英格兰教育日志》上$)$，现请你尝试证明过程．说明：$c^{2}=a^{2}+b^{2}.$