据我国古代《周髀算经》记载，公元前$1120$年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五$.$后人概括为“勾三，股四，弦五”.
$(1)$观察：$3$，$4$，$5$；$5$，$12$，$13$；$7$，$24$，$25$；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从$3$起就没有间断过$.$计算$\dfrac{1}{2}(9-1)$、$\dfrac{1}{2}(9+1)$与$\dfrac{1}{2}(25-1)$、$\dfrac{1}{2}(25+1)$，并根据你发现的规律，分别写出能表示$7$，$24$，$25$的股和弦的算式；
$(2)$根据$(1)$的规律，用$n(n$为奇数且$n\geqslant 3)$的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
$(3)$继续观察$4$，$3$，$5$；$6$，$8$，$10$；$8$，$15$，$17$；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从$4$起也没有间断过$.$运用类似上述探索的方法，直接用$m(m$为偶数且$m>4)$的代数式来表示他们的股和弦.