如图,抛物线$y=a{x}^{2}+bx+\sqrt{3}(a≠0)$与$x$轴交于$A$、$B$两点,点$A$在点$B$的左边,与$y$轴交于点$C$,点$A$、$B$的坐标为$A\left(-1,0\right)$,$B\left(3,0\right)$.

$(1)$如图$1$,求抛物线的解析式；
$(2)$如图$1$,点$D$在直线$BC$上方的抛物线上运动（不含端点$B$、$C)$,连接$DC$、$DB$,当$\triangle BCD$面积最大时,求出面积最大值和点$D$的坐标；
$(3)$如图$2$,将（1）中的抛物线向右平移,当它恰好经过原点时,设原抛物线与平移后的抛物线交于点$E$,连接$BE$.点$M$为原抛物线对称轴上一点,以$B$、$E$、$M$为顶点的三角形是直角三角形时,写出所有符合条件的点$M$的坐标,并写出求解点$M$的坐标的其中一种情况.