如图$1$和图$2$,在矩形$ABCD$中,$AB=4$,$AD=10$,点$E$为$BC$边中点,把$BE$绕点$E$顺时针旋转$\alpha \left(0^{\circ}\leqslant \alpha \leqslant 360^{\circ}\right)$得到${B\’}E$,连接$BB\’$,过$E$点作$EF\bot BB\’$交矩形$ABCD$边于$F$点,连接$BF$,${B\’}F$,设点$F$运动的路径长为$x$.
$(1)$求证:$BF={B\’}F$；
$(2)$直接写出线段$EF$的最小值,并求当$\angle BEF=20^{\circ}$时,$\angle AFB\’$的度数；
$(3)$当点${B\’}$落在边$AD$上时,求$x$的值；
$(4)$当$0 \lt x\leqslant 4$时,直接写出点${B\’}$到$AB$的距离（用含$x$的式子表示).