定义:如图$1$,点$M$,$N$把线段$AB$分割成$AM$,$MN$和$BN$,若以$AM$,$MN$,$BN$为边的三角形是一个直角三角形,则称点$M$,$N$是线段$AB$的勾股分割点.
$(1)$如图$1$,已知点$M$,$N$是线段$AB$的勾股分割点,且线段$BN$是线段$AM$、$MN$和$NB$中最长的,若$AM=3cm$,$MN=5cm$,则线段$BN$的长为______$cm$；
$(2)$如图$2$,已知点$M$在线段$AB$上,且$AM=5cm$,$BM=10cm$,点$N$在$BM$上,且$M$、$N$是线段$AB$的勾股分割点,求线段$BN$的长；
$(3)$如图$3$,$\triangle ABC$中,$\angle BCA=90^{\circ}$,$AC=BC$,点$M$、$N$在斜边$AB$上,且$\angle MCN=45^{\circ}$,求证:点$M$,$N$是线段$AB$的勾股分割点.