已知:如图$1$,平面直角坐标系中,一次函数$y=2x-1$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于点$A$,$B$,点$C$的坐标是$\left(3,0\right)$.

$(1)$求直线$BC$的函数表达式；
$(2)$若直线$AB$上有一点$P$,且$S_{\triangle PBC}=2S_{\triangle ABC}$,求点$P$的坐标；
$(3)$直线$BC$上方是否存在一点$M$,使得$M$、$B$、$C$三点构成的三角形与$\triangle ABC$全等?若存在,请直接写出点$M$的坐标；若不存在,请说明理由.