如图,抛物线$L:y=\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$与$x$轴正半轴交于点$A\left(4,0\right)$,与$y$轴交于点$B\left(0,-3\right)$.

$(1)$求抛物线$L$的解析式:
$(2)$如图$1$,点$P$为第四象限抛物线上一动点,过点$P$作$PC\bot x$轴,垂足为$C$,$PC$交$AB$于点$D$,求$PD+\frac{3}{5}AD$的最大值,并求出此时$P$的坐标；
$(3)$如图$2$,将抛物线$L:y=\frac{1}{2}{x}^{2}+bx+c$向右平移得到抛物线${L\’}$,直线$AB$与抛物线${L\’}$交于$M$,$N$两点,若点$A$是线段$MN$的中点,求抛物线${L\’}$的解析式.