【问题初探】
$(1)$综合与实践数学活动课上,张老师给出了一个问题:已知二次函数$y=x^{2}+2x-3$,当$-2\leqslant x\leqslant 2$时,$y$的取值范围为_____.
①小伟同学经过分析后,将原二次函数配方成$y=a\left(x-h\right)^{2}+k$形式,确定抛物线对称轴为直线$x=h$,通过$-2$、$h$和$2$的大小关系,分别确定了最大值和最小值,进而求出$y$的取值范围；
②小军同学画出如图的函数图象,通过观察图象确定了$y$的取值范围；请你根据上述两名同学的分析写出$y$的取值范围是______.
【类比分析】
$(2)$张老师发现两名同学分别从"数"和"形"的角度分析、解决问题,为了让同学们更好感悟"数形结合"思想,张老师将前面问题变式为下面问题,请你解答:已知二次函数$y=-x^{2}+2x-3$,当$-2\leqslant x\leqslant 2$时,求$y$的取值范围.
【学以致用】
$(3)$已知二次函数$y=-x^{2}+6x-5$,当$a\leqslant x\leqslant a+3$时,二次函数的最大值为$y_{1}$,最小值为$y_{2}$,若$y_{1}-y_{2}=3$,求$a$的值.