小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数:$y=\left[x\right]$,若$x\geqslant 0$时,$\left[x\right]=x^{2}-1$；若$x \lt 0$时,$\left[x\right]=-x+1$.小明根据学习函数的经验,对该函数进行了探究.
$(1)$下列关于该函数图象的性质正确的是______$;(填序号)$
①$y$随$x$的增大而增大；
②该函数图象关于$y$轴对称；
③当$x=0$时,函数有最小值为$-1$；
④该函数图象不经过第三象限.
$(2)$在平面直角坐标系$xOy$中画出该函数图象；
①若函数值$y=8$,则$x=\_\_\_\_\_\_.$
②若关于$x$的方程$2x+c=\left[x\right]$有两个不相等的实数根,请结合函数图象,直接写出$c$的取值范围是______.