$2021$年$4$月$29$日,在我国海南文昌航天发射场,长征五号$B$遥二运载火箭搭载"天和"核心舱发射升空,开启了星辰大海的全新征程,火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测.如图,火箭从地面$A$处发射,当火箭到达$B$点时,从地面$D$处的雷达站测得$BD$的距离是$4km$,$\angle ADB=30^{\circ}$；当火箭到达$C$点时,测得$\angle ADC=45^{\circ}$,求火箭从$B$点上升到$C$点的高度$BC.(结果保留根号)$