勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前$11$世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早$500$多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
【探究一】我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达$\boldsymbol{⋅}$芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理$($如图$1).$
请你写出这一证明过程$($图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形$).$

【探究二】在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形$($如图$2)$，它们的面积$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$之间满足的等量关系是：______.
迁移应用：如图$3$，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形$A$，$B$，$C$，$D$的边长分别是$3$，$5$，$3$，$2$，则正方形$E$的面积是 ______.
【探究三】如图$4$，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积$S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$之间满足的等量关系是 ______.
迁移应用：如图$5$，直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，分别以三边为直径作半圆．若$a=5$，$c=13$，则图中阴影部分的面积等于 ______.
【探究四】《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有$3$尺．牵着绳索$($绳索与地面接触$)$退行，在距木柱根部$8$尺处时绳索用尽．问绳索长多少？