如图,直线$l_{1}$:$y=kx+1$与$x$轴交于点$D$,直线$l_{2}$:$y=-x+b$与$x$轴交于点$A$,且经过定点$B\left(-1,5\right)$,直线$l_{1}$与$l_{2}$交于点$C\left(2,m\right)$.
$(1)$求$k$、$b$和$m$的值；
$(2)$求$\triangle ADC$的面积；
$(3)$在$x$轴上是否存在一点$E$,使$\triangle BCE$的周长最短?若存在,请求出点$E$的坐标；若不存在,请说明理由.