知识探究：
如图$1$是两直角边长分别为$m$，$n(m>n)$的直角三角形，如果用四个与图$1$完全一样的直角三角形可以拼成如图$2$和图$3$的几何图形$.$其中图$2$和图$3$的四边形$ABCD$、四边形$EFGH$都是正方形$.$请你根据几何图形部分与整体的关系完成第$(1)(2)$题.
请选择$(m+n)^{2}$，$(m-n)^{2}$，$mn$中的有关代数式表示：
图$2$中正方形$ABCD$的面积： ______ .
图$3$中正方形$ABCD$的面积： ______ .
$(2)$请你根据题$(1)$，写出下列三个代数式：$(m+n)^{2}$，$(m-n)^{2}$，$mn$之间的等量关系 ______ .
知识应用：
$(3)$根据$(2)$题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：$a-b=5$，$ab=-6$，求：$(a+b)^{2}$的值；
②已知：$a>0$，$a-\dfrac{1}{a}=\sqrt{5}$，求：$a+\dfrac{1}{a}$的值.