如图，在矩形$ABCD$中，$O$为对角线$BD$中点，$AB=12$，$AD=16$，$OE⊥BD$交边$AD$于点$E$，点$P$为射线$AB$上的一动点，点$Q$为边$AD$上的一动点，且$∠POQ=90^{\circ}$．

$(1)$求线段$OE$的长度；

$(2)$若$BP=2$，求$DQ$的长；

$(3)$若线段$PQ$与线段$OE$的交点为$F$，当$\triangle POF$为等腰三角形时，求$BP$的长．