如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=-\frac{1}{2}x+m$的图象$l_{1}$分别与$x$,$y$轴交于$A$,$B$两点,正比例函数的图象$l_{2}$与$l_{1}$交于点$C\left(2,4\right)$.
$(1)$求$m$的值及$l_{2}$的解析式；
$(2)$若点$M$是直线$y=-\frac{1}{2}x+m$上的一个动点,连接$OM$,当$\triangle AOM$的面积是$\triangle BOC$面积的$2$倍时,请求出符合条件的点$M$的坐标；
$(3)$一次函数$y=kx+2$的图象为$l_{3}$,且$l_{1}$,$l_{2}$,$l_{3}$不能围成三角形,直接写出$k$的值.