$(1)$如图$1$,在矩形$ABCD$中,$E$为$AD$边上一点,连接$BE$,若$BE=BC$,过$C$作$CF\bot BE$交$BE$于点$F$,
①求证:$\triangle ABE$≌$\triangle FCB$；
②若$S_{矩形ABCD}=20$时,则$BE\cdot CF=\_\_\_\_\_\_.$
$(2)$如图$2$,在菱形$ABCD$中,$\cos A=\frac{1}{3}$,过$C$作$CE\bot AB$交$AB$的延长线于点$E$,过$E$作$EF\bot AD$交$AD$于点$F$,若$S_{菱形ABCD}=24$时,求$EF\cdot BC$的值.
$(3)$如图$3$,在平行四边形$ABCD$中,$\angle A=60^{\circ}$,$AB=6$,$AD=5$,点$E$在$CD$上,且$CE=2$,点$F$为$BC$上一点,连接$EF$,过$E$作$EG\bot EF$交平行四边形$ABCD$的边于点$G$,若$EF\cdot EG=7\sqrt{3}$时,请直接写出$AG$的长.