在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ}$,$AB=4$,$BC=3$,$BD$平分$\angle ABC$,动点$P$从点$A$出发,沿$AB$以每秒$1$个单位长度的速度向终点$B$运动,同时,动点$Q$从点$B$出发,沿射线$BD$以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度运动,当点$P$到达点$B$时,点$Q$、点$P$同时停止运动.设点$P$的运动时间为$t$秒,$\triangle BPQ$与$\triangle ABC$重叠部分面积为$S$.
$(1)$用含$t$的代数式表示点$Q$到$AB$的距离是______；
$(2)$求点$D$到$BC$的距离；
$(3)$当$PQ$与$\triangle ABC$的一边平行时,求$S$的值；
$(4)$当点$Q$不与点$B$重合时,作点$Q$关于直线$AB$的对称点${Q\’}$,当直线$PQ\’$经过$\triangle ABC$一边中点时,直接写出$t$的值.