圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆,用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积.

$(1)$如图$1$,大圆的弦$AB$切小圆于点$P$,求证:$AP=BP$；
$(2)$若$AB=2a$,则图$1$中的圆环面积为______.(用含有$a$的代数式表示）；
$(3)$如图$2$,若大圆的弦$AB$交小圆于$C$、$D$两点,且$AB=8$,$CD=6$,则圆环的面积为______.
$(4)$如图$3$,点$P$是$\odot O$内一点,用不带刻度的直尺与圆规,过$P$点作$\odot O$的弦$AB$,使$AP=2PB(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)$.