装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以$AB$为直径的半圆$O$,$AB=50cm$.如图①和图②所示,$MN$为水面截线,$GH$为台面截线$,MN$∥$GH.$
计算在图①中,已知$MN=48cm$,作$OC\bot MN$于点$C$.

$(1)$求$OC$的长.
操作将图①中的水槽沿$GH$向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当$\angle ANM=30^{\circ}$时停止滚动,如图②.其中,半圆的中点为$Q$,$GH$与半圆的切点为$E$,连接$OE$交$MN$于点$D$.
探究在图②中.
$(2)$操作后水面高度下降了多少?
$(3)$连接$OQ$并延长交$GH$于点$F$,求线段$EF$的长度.