如图,$AB$是圆$O$的直径,$O$为圆心,$AD$、$BD$是半圆的弦,且$\angle PDA=\angle PBD$.延长$PD$交圆的切线$BE$于点$E$
$(1)$判断直线$PD$是否为$\odot O$的切线,并说明理由；
$(2)$如果$\angle BED=60^{\circ}$,$PD=\sqrt{3}$,求$PA$的长.
$(3)$在（2）的条件下,将线段$PD$以直线$AD$为对称轴作对称线段$DF$,点$F$正好在圆$O$上,如图$2$,求证:四边形$DFBE$为菱形.