如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^{2}+bx+c\left(a\neq 0\right)$与$x$轴交于点$A\left(-3,0\right)$和点$B\left(2,0\right)$两点,且与$y$轴交于点$C\left(0,6\right)$.连接$AC$,$BC$,$P$为抛物线在第二象限内一点.
$(1)$求抛物线的解析式；
$(2)$如图$1$,连接$PA$、$PC$,抛物线上是否存在点$P$,使得$S_{\triangle PAC}$:$S_{四边形ABCP}=1:3$?若存在,请求出点$P$坐标；若不存在,请说明理由；
$(3)$如图$2$,连接$PA$、$PB$,过点$P$作$PD$∥$BC$交$AC$于点$D$,连接$BD$.若$\frac{S_{△PDA}}{S_{△PDB}}=\frac{1}{3}$,求点$P$坐标.