如图$1$,等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,$CB=CA$.过$A$作$AD\bot ED$于点$D$,过$B$作$BE\bot ED$于点$E$.易证得$\triangle BEC$≌$\triangle CDA.(无需证明)$,我们将这个模型称为"一线三等角"或者叫"$K$形图.

【问题初探】如图$2$,已知直线$y=2x+2$与$y$轴,$x$轴分别交于$A$,$B$两点,以$B$为直角顶点在第二象限作等腰$Rt\triangle ABC$.
$(1)$求点$C$的坐标,并求出直线$AC$的表达式；
【应用探究】
$(2)$如图$3$,直线$CB$交$y$轴于$E$,在直线$CB$上取一点$D$,连接$AD$,若$AD=AC$,求证:$BE=DE$；
【拓展延伸】
$(3)$随着城市建设的发展,街心花园越来越多地出现在人们的生活中,其功能也由最初的美化市容、改善环境,渐渐发展为休闲、娱乐、运动、餐饮一体化的市民游息场所,为居民幸福生活提供越来越丰富的作用.为了提升居住环境水平,高新区准备对区内一个街心花园进行改造,如图$4$,设计师标记公园原址为长方形$AOBC$,并以点$O$为原点建立平面直角坐标系,已知$A$、$B$的坐标分别是$\left(0,30\right)$,$\left(20,0\right)$.设计师准备在原花园的两边$OA$和$OB$上分别选取点$D$和点$E$,以$DE$为斜边在$DE$的左下侧（包括左侧和下侧）修建一个等腰直角三角形$DEF$区域作为餐饮角,由于点$C$处是地铁站,为方便市民出行,设计师想确定点$F$的位置,使点$F$到点$C$的距离最小,请你利用所学知识帮助设计师在图$4$中标出$F(不限作图工具,保留作图痕迹)$,使得$CF$最小,并直接写出$CF$的最小值.