已知$y$是关于$x$的函数,若其图象经过点$P\left(t,2t\right)$,则称点$P$为函数图象上的"周梅点".例如:直线$y=x-3$上存在"周梅点"$P\left(-3,-6\right)$.
$(1)$在直线$y=-x+1$上是否存在"周梅点"?若存在,请求出"周梅点"的坐标；若不存在,请说明理由；
$(2)$若抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+(\frac{2}{3}a+2)x-\frac{2}{9}a^2-a+1$上有"周梅点",且"周梅点"为$A(x_{1}$,$y_{1})$和$B(x_{2}$,$y_{2})$,求$w=x_1^2+x_2^2$的最小值；
$(3)$若函数$y=\frac{1}{4}x^2+(m-t+2)x+n+t-2$的图象上存在唯一的一个"周梅点",且当$-2\leqslant m\leqslant 3$时,$n$的最小值为$t$,求$t$的值.