对$x$,$y$定义一种新运算,规定:$\theta \left(x,y\right)=2ax-by+1($其中$a$,$b$均为非零常数).例如:$\theta \left(2,1\right)=2a\times 2-b\times 1+1=4a-b+1$.
$(1)$已知$\theta \left(-1,1\right)=-2$,$\theta \left(3,-1\right)=12$.
①求$a$,$b$的值；
②若关于$m$的不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{θ(2-m,m+1)≤1}\\{θ(\frac{m}{4},\frac{1-m}{2})＜p}\end{array}}\right.$恰好有$2024$个整数解,求实数$p$的取值范围；
$(2)$若不论$m$,$n$取何值时,$\theta \left(n-m,3m+2\right)+n$的值都是一个定值,请求出该定值.