阅读材料:
材料$1$:法国数学家弗朗索瓦$\cdot$韦达于$1615$年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0$,$b^{2}-4ac\geqslant 0)$的两根$x_{1}$,$x_{2}$有如下的关系（韦达定理$):x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$,$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}$；
材料$2$:如果实数$m$、$n$满足$m^{2}-m-1=0$、$n^{2}-n-1=0$,且$m\neq n$,则可利用根的定义构造一元二次方程$x^{2}-x-1=0$,然后将$m$、$n$看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题.
请根据上述材料解决下面问题:
$(1)$若实数$a$,$b$满足:$a^{2}+3a-5=0$,$b^{2}+3b-5=0\left(a\neq b\right)$则$a+b=$______,$ab=$______；
$(2)$若$x_{1}$,$x_{2}$是方程$x^{2}-6x+k+3=0$两个不等实数根,且满足$5|x_{1}|=x_{2}+6$,求$k$的值；
$(3)$已知实数$m$、$n$、$t$满足:$m^{2}-4m=7+t$,$\frac{1}{4}{n}^{2}-n=\frac{1}{4}(7+t)$,且$m \lt 0 \lt n$,求$(n^{2}+1)\left(4m+8+t\right)$的取值范围.