"数形结合"是一种非常重要的数学思想方法.比如:人教版八年级上册的数学教材在学习"完全平方公式"时,通过构造几何图形,用几何直观的方法解释了完全平方公式:$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}($如图$1)$.利用"数形结合"的思想方法,可以从代数角度解决图形问题,也可以用图形关系解决代数问题.

$(1)$观察图$2$,请直接写出一个多项式进行因式分解的等式:______.
$(2)$如图$3$,这是$2002$年北京世界数学家大会的会标,会标是用边长分别为$a$,$b$,$c$的四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形,利用这一图形可以推导出一个关于$a$,$b$,$c$的结论.请写出该结论,并写出推导过程.
$(3)$有两个大小不同的正方形$A$和$B$,现将$A$,$B$并列放置后构造新的正方形得到图$4$,其阴影部分的面积为$22$；将$B$放在$A$的内部得到图$5$,其阴影部分（正方形）的面积为$9$.则正方形$A$,$B$的面积之和为______.