$(1)$问题提出
如图①,在$\triangle ABC$中,$AB=AC=6$,$\angle BAC=120^{\circ}$,点$D$,$E$分别是$AB$,$AC$的中点.若点$M$,$N$分别是$DE$和$BC$上的动点,则$AM+MN$的最小值是______.
$(2)$问题探究
如图②,$A$和$B$两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥（与河床垂直）,桥造在何处,才能使从$A$到$B$的路径$A\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow B$最短.博琳小组针对该问题展开讨论,小旭同学认为:过$A$作河岸的垂线,使$AA\’=MN$,$MN$为河宽,连接${A\’}B$,${A\’}B$与河的一岸交于点$N$,此时在点$N$处建桥,可使从$A$到$B$的路径$A\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow B$最短.你认为小旭的说法正确吗?请说明理由.
$(3)$问题解决
如图③,在矩形$ABCD$中,$AB=60$,$BC=80.E$、$F$分别在$AB$,$CD$上,且满足$EF$∥$BC$,$BE=20$.若边长为$10$的正方形$MNPQ$在线段$EF$上运动,连接$BM$、$DP$,当$BM+DP$取值最小时,求$EN$的长.